[기초 수학] 4. 지수함수(expotential function)

학습내용

#1 : 지수함수(expotential function)

 지수함수는 지수에 미지수 x가 있는 함수로 인공지능의 오차역전파에 사용하는 수학.

• f(x) = a^x(a > 0, a ≠ 1) 형태로 나타낼 수 있는 함수.
• 밑은 양의 정수어야 하며 a의 범위는 a > 0, 0 < a <1이다.

파이썬에서의 지수 함수

 파이썬에서는 math 라이브러리의 pow(), sqrt(), exp()함수를 사용해 지수 함수를 쓸 수 있다.

import math

#x의 y 제곱
pow = math.pow(2, 4)
print(pow)
#16.0

#x의 제곱근
sqrt = math.sqrt(4)
print(sqrt)
#2

#e(자연상수)의 x제곱
exp = math.exp(2)
print(exp)
#7.38905609893065

#e(자연상수) 값
sqrt2 = math.sqrt(exp)
print(sqrt2)
#2.718281828459045

• math.pow(x, y) : x의 y제곱.
• math.sqrt(x) : x의 제곱근.
• math.exp(x) : e(자연상수, 2.718281828459045)의 x제곱.

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#2 : 지수함수 그래프(expotential function graph)

 지수함수에서 지수가 커지면 y 값도 커지고, 지수가 작아지면 y값도 작아진다.(y>0) 따라서, 지수 x가 커지면 y도 커지고 그 지수의 값이 커질 수록 y값의 증가도 커지기에 오른쪽 위로 휜 그래프가 된다.

a가 2일 때 (a>0)
x	···	-2	-1	-	1	2	···
y=ax	···	1/4	1/2	1	2	4	···

a가 1.5일 때, a가 10일 때 그래프

반대로, 지수 y가 작아지면 y도 작아지기 때문에 0에 한 없이 가까워지는 오른쪽 아래로 휜 그래프가 된다.

a가 1/2일 때 (0<a<1)
x	···	-2	-1	0	1	2	···
y=ax	···	4	2	1	1/2	1/4	···

a가 0.8일 때, a가 0.1일 때 그래프

 이때 밑이 역수인 두 지수함수는 y축에 대해 대칭이다. 2와 1/2, 8과 1/8 등.

y축에 대해 대칭인 역수 관계의 지수함수

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#3 : 지수함수의 평행 이동과 대칭 이동

지수함수의 평행 이동(parallel translation)

 평행 이동은 그래프 모양은 유지하고 위치만 바꾸는 것.

• f(x, y) = 0을 (p, q)만큼 이동한다면 f(x - p, y - q) = 0이 된다.

지수함수의 대칭 이동(symmetric transposition)

 x축, y축, 원점을 기준으로 대칭이동을 할 수 있다.

• y=a^x 그래프를 대칭이동 한다면.
  • x축 대칭이동 : (-y=a^x) = (y=-a^x) 
  • y축 대칭이동 : y=a^-x
  • 원점 대칭이동 : (-y=a^-x) = (y=-a^-x)

x축, y축, 원점 대칭