[기초 수학] 2. 함수, 일차함수, 이차함수, 그래프

학습내용

함수(funtion)

• 함수(function)는 정의역 원소 하나와 공역 원소 하나와 짝을 짓도록 관계를 주는 것이 함수.
• 함수(function)는 첫번째 집합의 원소 하나와 두번째 원소 하나에 대응시켜주는 관계.
• 함수(function)는 하나의 원소가 하나의 원소와 관계를 갖는다.
• 어떤 식이든 하나의 값을 넣으면 하나의 값이 나온다.
• 정의역(domain)
• 공역(codomain)
• 치역(range)

일차함수(linear function), 직선의 방정식

• 일차함수는 최고차항의 차수가 1인 함수이다.
• y=2x+1의 경우 x의 차수가 1이기에 일차함수이다.
• 분수함수, 상수함수, 일차방정식, 일차부등식은 일차함수가 아니다.
• 좌표 평면에서 일차함수의 그래프 모양이 직선이기에 직선의 방정식이라 부름.

f(x)= y=ax 그래프

• a가 양수일 때, a 값이 커질수록 그래프는 y축에 가까워진다.
• a가 음수일 때, a 값이 작아질수록 그래프는 y축에 가까워진다.
• a가 0보다 크면(a>0) a값이 커질 때 y축에 가까워진다.
• a가 0보다 작으면(a<0) a값이 작아질 때 y축에 가까워진다.

y=ax그래프

f(x)= y=ax+b 그래프

• y=ax+b는 y=ax 그래프를 b만큼 평행 이동(parallel translation) 한 것.
• y=ax+b에서 a는 직선의 기울기, b는 y절편이라한다.
• 절편(intercept)은 함수의 그래프가 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 의미.
  • x축과 만나는 점의 좌표는 x절편, y축과 만나는 점의 좌표는 y절편.

f(x)= y=ax+b 에서 직선의 기울기, y절편 구하기

• y=ax+b에서 직선의 기울기는 a이다.
• a를 제외한 나머지 값을 대입해 계산을 해보면 a를 구할 수 있다.
• 점(2, 6)를 지나고 y절편이 2인 직선의 방정식에서 기울기 구하기.
  • 6=a2+2 → 4=a2 → a=2 → 기울기는 2
• y=ax+b에서 y절편은 b이다.
• b를 제외한 나머지 값을 대입해 계산을 해보면 b를 구할 수 있다.
• 점(2, 6)를 지나고 기울기가 2인 직선의 방정식에서 기울기 구하기.
  • 6=2*2+b → 6=4+b → b=2 → y절편은 2

y=2x+2 그래프

이차함수(quadratic function), 직선의 방정식

• 이차함수는 최고차항의 차수가 2인 함수이다.
• f(x)= y=2x²+x+3의 경우 x의 차수가 2이기에 이차함수이다.
• 위 함수에서 x절편은 2x²+x+3의 해이고, y절편은 3이다.

f(x)= y=ax² 그래프

• 이차함수에서 a는 이차항의 계수라고 표현한다.
• a가 0보다 크면(a>0) 아래로 볼록한 그래프가 된다.
• a가 0보다 작으면(a<0) 위로 볼록한 그래프가 된다.
• 원점(위 그래프에서는 (0,0)이다.)의 x=0을 기준으로 좌우가 대칭된다.

 

f(x)= y=ax²+b 그래프

• y=ax²그래프의 y축 방향으로 b만큼 평행이동 한 그래프.
• b가 양수면 y축 양의 방향(위쪽), b가 음수면 y축 음의 방향(아래쪽)으로 평행이동한다.

• y=ax²그래프에서 x축 방향으로 c만큼 평행이동을 한다면?
  • y=a(x-c)² 이런 식이 만들어진다.
  • y좌표 값은 그대로고 x좌표 값이 변했기에, x좌표의 증감치 c를 빼주면 y=ax²식을 성립하게된다.
• y=2(x-3)²+4는 y=2x²+4 그래프에서 x좌표를 3만큼 평행이동한 그래프.
• y=2(x+3)²+4는 y=2x²+4 그래프에서 x좌표를 -3만큼 평행이동한 그래프.

느낀 점

 중고등학생 시절에는 그냥 외우기만 했었다. '이차함수 그래프에서 x가 3만큼 이동하면 -3이고 -3만큼 이동하면 3이다.' 이런식으로 그냥 외우기만 했는데, 이유와 원리를 찾아보니 좀 더 이해가 쉬웠고 흥미로웠다. 블로그에 정리를 하면서 공부를 하다보니 시간이 오래걸린다. 공부와 블로그 글 작성에서 약간의 주객전도가 있는 것 같은데, 앞으로 어떻게 정리할 지 고민해봐야겠다.